Чисельні методи розв'язування нелінійних рівнянь.

Метод половинного ділення: 

Нехай дано рівняння f(x)=0. Необхідно знайти його корінь з точністю e на відрізку [a,b], на якому функція безперервна і у кінцях має значення різних знаків, тобто f(a)×f(b)<0. Таким чином, згідно теореми 1, на цьому відрізку існує хоча б один розв’язок рівняння.

Знаходиться середина відрізку [a,b] точка с (рис. 3.2). Корінь може опинитись на відрізку [a,с] або на [с,b], чи співпасти з с. В останньому випадку метод припиняє роботу, інакше за допомогою перевірки виконання умов f(a)×f(c)<0 і f(c)i>×f(b)<0 з’ясовується, на якій частині відрізку залишився корінь. Далі процедура повторюється для тієї половини відрізку, на якій є корінь, доки відрізок не зменшиться настільки, що його довжина буде менше від заданої похибки.

Алгоритм методу половинного ділення: 

Метод хорд:

Нехай дано рівняння f(x)=0. Необхідно знайти його корінь з точністю e на відрізку [a,b], на якому функція безперервна і на кінцях має значення різних знаків, тобто f(a)×f(b)<0. Таким чином, згідно теореми 1, на цьому відрізку існує хоча б один розв’язок рівняння.

Ідея методу хорд полягає в заміні на відрізку [a,b] функції f(x) на пряму, що проходить через кінці її графіка (точки А з координатими (a, f(a)) та В (b, f(b))) (рис.3.4).

Шуканим коренем C буде перетин f(x) з віссю ОХ.

Модифікований метод Ньютона:

На відміну від методу хорд, в методі Ньютона функція f(x) замінюється на дотичну і наближення до кореня рівняння визначається точкою перетину дотичної з віссю ОХ.